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GMAT数学难点之余数&质数解读

2019-06-13 10:05:33
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GMAT数学考试当中,余数和质数都属于算术arithmetic一章当中整数的整除性部分的知识点,质数通常是运用在分解质因数求因数倍数问题当中,余数主要考察余数的性质和相关定理。



(一)质数prime number


A prime number is a positive integer that has exactly two different positive divisors, 1 and itself.


定义:

质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数。否则称为合数Composite number。



例题1:

The product P of two prime numbers is between 9 and 55. If one of the prime numbers is greater than 2 but less than 6 and the other is greater than 13 but less than 25, then P =?

A.15 B.33 C.34 D.46 E.51


【解析】E

本题就是考察质数

2-6之间的质数有:3,5

13-25之间的质数有:17,19,23

满足相乘在9-55的只有3*17=51

 

解题必看:


分解质因数Decomposition of the quality factor:任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。


例如24=2*2*2*3;34=2*17.


在涉及到求因数倍数的问题当中,分解质因数不失为一个很好的方法,通常应用在以下两个方面:


① 最大公因数greatest common factor

几个整数全部公有的质因数的乘积


② 最小公倍数least common multiple

几个整数所含质因数最高次方之间的乘积


例如50=2*5^2,60=2^2*3*5

它们最大公因数是:2*5=10;最小公倍数是:2^2*3*5^2=300




例题2:

If n is a positive integer and the product of all the integers from 1 to n, inclusive, is divisible by 990, what is the least possible value of n ?

A.8  B.9  C.10  D.11  E.12

【解析】D

990=2*3^2*5*11

n要能够被11整除

 


例题3:

If M is the least common multiple of 90, 196, and 300, which of the following is NOT a factor of M?  

A.600 B.700 C.900 D.2,100 E.4,900

【解析】A

求解最小公倍数

90=3^2x2x5  196=2^2x7^2  300=3x2^2x5^2

M=2^2x3^2x5^2x7^2

600=2^3*3*5^2

 




(二)余数remainder


If x and y are positive integers, there exist unique integers q and r, called the quotient and remainder,respectively, such that y=xq+r and 0 < r< x.


性质1:

指整数除法中被除数未被除尽部分,且余数的取值范围为0到除数之间(不包括除数)的整数。例如27除以6,商数为4,余数为3。


性质2:

一个数除以另一个数,要是比另一个数小的话,商为0,余数就是它自己。例如1除以2,商数为0,余数为1。2除以3,商数为0,余数为2。

 


例题4:

When positive integer x is divided by positive integer y, the remainder is 9.If x/y=96.12,what is the value of y ?

A.96 B.75 C.48 D.25 E.12

【解析】B

y*0.12=9

y=75

 

例题5:

When positive integer M is divided by positive integer N, the remainder is 5. N is less than 7, what is the value of N?

A.4 B.5 C.6 D.7 E.8

【解析】C

N的余数是5,所以5<N

那么5<N<7

 

解题必看:


余数的重要定理是同余定理,首先要理解同余的概念。


① 同余

两个整数a,b,若它们除以整除c所得的余数相同,则称为a、b关于c同余。


② 同余定理

若a、b两数除以c所得余数分别是m、n,则有如下规律:

        a+b与m+n关于c同余

        a-b 与m-n关于c同余

        axb与mxn关于c同余


 


例题6:

What is the remainder when the sum of the positive integers x and y is divided by 6?

(1) When x is divided by 6, the remainder is 3.

(2) When y is divided by 6, the remainder is 1.

【解析】C

条件1:x=6a+3,不充分

条件2:y=6b+1,不充分

结合:x+y除以的余数=3+1=4,充分

 


例题7:

When positive integer x is divided by 5, the remainder is 3; and when x is divided by 7, the remainder is 4. When positive integer y is divided by 5, the remainder is 3; and when y is divided by 7, the remainder is 4. If x>y, which of the following must be a factor of x - y?

A.12 B.15 C.20 D.28 E.35

【解析】E

推论:如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除。

x和y除以5和除以7的余数都相同,所以x-y含有因数5和7。

 


例题8:

求478×296×351除以17的余数

【解析】余数是1

478,296,351除以17的余数分别为2,7和11

(2×7×11)除以17余数是1

所求余数是1。


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