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问题求解PS-18027 【难度:680-700】 Time Cost
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Let S be the set of all positive integers having at most 4 digits and such that each of the digits is 0 or 1 What is the greatest prime factor of the sum of all the numbers in S?

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当前版本由 Duan 更新于2021-11-02 15:58:14 感谢由 Duan 对此题目的解答所做出的贡献。
如花的分类法有点复杂,其实可以不必分类。四个空,可以分别放入1和0,每个空有两种可能,因此总共有2*2*2*2=16种方法,因此有16个数字。注意:最前面是0也可以的,相当于就变成了3位数、2位数、1位数了。16个数相加,每一位都是8个0和8个1相加,因此,每一位数求和都是8,也就是总和为8888. 题目at most 4 digits,其实是简化了题目,完全匹配排列组合模型。

题目讨论 (7条评论)

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    月城雪兔子

    4个空位0或1 穷举法确实可以发现规律,但耗时间,另一种想法是4个空位,无论另外三个空位是什么,一个空位只能是0或者1,且无论是0还是1,其他三个空位的不同排列的个数是一样的(即每个空位的合是一样的);所以sum一定是1111的倍数,最大的p是101
    2 0 回复 2022-01-04 17:22:46
  • 用户头像

    今天正确率高了吗!

    那么当所有都是1111的时候
    1111=11x101
    所有数之和,假设所有数都等于1111
    1111*n=11*101*n——那么最大的质因数就可能是101
    2 0 回复 2021-10-19 13:09:22
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    167508ivmcm

    We need positive integers having at most 4 digits (so 1 digit, 2 digit and 3 digits are also allowed) such that each digit is 0 or 1. Note that 1 is allowed which is the same as 0001. So basically S is a set of all 4 digit numbers such that any digit can be 0 or 1.
    
    S = __ __ __ __
    
    We can make 2*2*2*2 = 16 such positive integers since we can fill in each of the 4 spaces in 2 ways. Now imagine writing these 16 numbers one below the other to add.
    
    0 0 0 0
    0 0 0 1
    0 0 1 0
    ...
    1 1 1 1
    --------
    
    When we add them, noticing the symmetry we know that there will be 8 0's in units digits and 8 1's. So units digits will add up to 8. Similarly, tens digits, hundreds digits and thousands digits will all add up to 8.
    Sum of all numbers in S = 8888
    
    8888 = 8 * 1111 = 8 * 11 *101
    
    101 is the largest prime factor of sum of all numbers in S.
    
    Answer (E)
    2 0 回复 2021-10-12 13:53:50
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    242849xsmp

    1,0用树状图表示把,更清晰一点
    0 0 回复 2021-10-09 23:19:26
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    400131jt

    关于如何快速求解最大质因数,这个点还需要找到更快速的方式。因为目前哪怕算出来8888,也不确定是不是能求出来101是它的最大质因数
    0 0 回复 2021-10-04 14:41:57
    • 评论用户头像

      颜梦莹回复400131jt

      能被11整除的数的特点:(奇数位的和-偶数位的和)/11 结果为整数

      1 0 回复 2021-10-07 12:39:02

  • 用户头像

    凡人L

    题目要求不超过4位数的数组之和,不是“只有四位数的数组之和”。不是8444而是8888!!!
    注意审题!!!
    2 0 回复 2020-12-13 19:39:14
  • 用户头像

    貌美如花的似玉

    用0和1组成1位数,第一位不能是0,有1种选择;2位数,有1*2=2种选择;3位数,有1*2*2=4种选择;4位数,有1*2*2*2=8种选择,分别是:
    1
    10, 11
    100, 101, 110,111
    1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111
    和是8888
    8 0 回复 2020-06-04 22:17:27
    题号选择

    科目: 问题求解PS

    • 句子改错SC
    • 逻辑CR
    • 阅读RC
    • 数据充分DS
    • 问题求解PS
    • 综合推理IR

    来源: GMAT难题300合集

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    题目信息

    3m27s

    平均耗时

    70%

    平均正确率

    该题由网友Hpbnkwv提供

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